Autor: dr Joanna Major

Szkoła Podstawowa im. Królowej Jadwigi w Sierczy

Wiedza i umiejętności matematyczne pełnią w naszym codziennym życiu istotną rolę. Jednocześnie na każdym poziomie nauczania matematyki główną oś edukacji stanowi rozwiązywanie zadań. Mając na uwadze przygotowywanie ucznia w procesie edukacji, do życia w otaczającej go rzeczywistości, powinno zwracać się uwagę na rozwiązywanie takich zadań, które pozwalają realizować ogólne cele nauczania matematyki i umożliwiają kształtowanie kompetencji kluczowych. Zadań, które kształtują umiejętności i postawy potrzebne współczesnemu człowiekowi niezależnie od dziedziny jego działalności. Postulat ten pozwala realizować rozwiązywanie przez uczniów zadań niestandardowych [1].

Rozwiązywanie tego typu zadań kształtuje m.in. postawy intelektualne przejawiające się w logicznym, twórczym i samodzielnym myśleniu i pokonywaniu trudności oraz pozwala doskonalić umiejętność analizy treści zadania i rozumienia jego globalnej struktury. Jednocześnie, jak  zwraca uwagę G. Polya, w samej matematyce ważniejsze od wiadomości są umiejętności. Czym jest umiejętność w matematyce? Zdolnością do rozwiązywania zadań, i to nie tyle zadań typowych, co tych, które wymagają niezależnego sądu, umiejętności osądu, oryginalności, zdolności twórczych (Polya, 1975).

Warto zauważyć, że w codziennych sytuacjach spotykamy się z szeroko pojętymi zadaniami, które często, można by rzec, są źle sformułowane (mają za dużo bądź za mało danych, bądź też dane są sprzeczne). Zadania te, po zmatematyzowaniu stają się właśnie zadaniami niestandardowymi. Zauważmy, że w dobie rozwoju nowoczesnych technologii pozyskiwanie informacji nie stanowi przeszkody. Głównym problemem staje się uświadomienie sobie w danej sytuacji, że mamy nadmiar bądź niedomiar informacji. Bardzo cennymi umiejętnościami są więc m.in. umiejętność selekcji informacji, sprawdzanie niesprzeczności danych, a w przypadku  zadań z niedomiarem danych, rozważanie całej klasy rozwiązań zadań, bądź uzasadnianie, że dane nie są wystarczające do rozwiązania zadania.

W artykule ukażę fragment wyników badań dotyczących pracy uczniów nad zadaniami niestandardowymi. Podam tu wybrane uwagi na temat postaw [2] prezentowanych przez uczniów podczas rozwiązywania zadań z niedomiarem danych mających wieloznaczne rozwiązanie. Zadanie, które obok innych stanowiło narzędzie badawcze, w warstwie matematycznych treści nie wykracza poza II poziom edukacji matematycznej.

W pracy omówię część wyników uzyskanych przez 35 szesnastoletnich uczniów, którzy w opinii nauczycieli matematyki stanowią osoby o wysokim poziomie wiadomości i umiejętności matematycznych.

Oto jedno z pięciu zadań, które rozwiązywali badani.

Wyznacz obwód prostokąta o polu 18 cm², którego długości boków są liczbami naturalnymi. Przedstaw obliczenia z komentarzem oraz udziel odpowiedzi.

Analizując prace uczniów oraz treść rozmów prowadzonych z uczniami po rozwiązaniu przez nich zadania, wyróżniłam kilka typów postaw uczniów związanych z pracą nad niestandardowym zadaniem matematycznym. Oto one:

1. Rozwiązanie zadania dla przykładowych długości boków (rozważenie jednego przypadku – obranie konkretnych, zgodnych z warunkami zadania długości boków).

Uczniowie prezentujący tego typu postawę (7 badanych) wskazywali konkretne długości boków prostokąta (jedna para liczb naturalnych), wyznaczali obwód prostokąta dla wskazanych długości boków, udzielali odpowiedzi do zadania i na tym kończyli pracę. Uczniowie nie mieli przy tym potrzeby poszukiwania innych par liczb spełniających warunki zadania czy też uzasadnienia, że jest to jedyne rozwiązanie zadania. Oto przykładowe rozwiązanie.

Analizując komentarze udzielane przez badanych, podane po rozwiązaniu zdania, można z dużą dozą prawdopodobieństwa przypuszczać, że badani odnaleźli (odgadli) empirycznie jedno z możliwych rozwiązań, zaś przeszkodą w dalszym poszukiwaniu ewentualnych innych rozwiązań zadania okazało się przekonanie badanych, że zadanie ma jedno rozwiązanie. Można postawić tezę, że tego typu postawa jest wynikiem doświadczeń badanych nabytych w wyniku rozwiązywania standardowych zadań matematycznych.

2. Porzucenie rozwiązania zadania w momencie stwierdzenia wieloznaczności jego rozwiązania.

Badani, których prace tu zaliczyłam (6 osób), wskazali pary liczb spełniających warunki zadania (tj. wskazali długości boków prostokąta o polu 18 cm²), po czym przerwali prace nad zadaniem. Osoby te nie obliczały obwodu prostokąta. Z rozmów prowadzonych z uczniami wynika, że przyczyną porzucenia przez uczniów rozwiązania zadania jest przekonanie badanych, że pomylili się rozwiązując zadanie albo źle zrozumieli treść zadania lub uznali, że zadanie to jest źle sformułowane. Może to świadczyć o tym, iż uczniom obca jest sytuacja związana z rozważaniem kilku alternatywnych przypadków. Badani stwierdzali: wychodzą różne długości boków, a tak być nie może albo nie jestem w stanie jednoznacznie stwierdzić, ile wynoszą długości boków, a tym samym obliczyć obwodu prostokąta. Badani zwracali również uwagę (zob. rozwiązanie zamieszczone niżej) na fakt, że dane są niewystarczające do otrzymania jednoznacznego rozwiązania.

3. Rozważanie wszystkich możliwych przypadków dla różnych długości boków prostokąta bez udzielenia odpowiedzi końcowej do zadania.

Badani prezentujący tę postawę (12 osób) podali różne możliwe długości boków prostokąta spełniające warunki zadania. Dla wskazanych długości boków obliczali obwód prostokąta. Po czym nie udzielali odpowiedzi na pytanie zawarte w zadaniu, stwierdzając tylko: nie wiem co zrobić, wyszły mi dwa rozwiązania lub też (jak w podanym niżej rozwiązaniu) Na to zadanie nie ma jasnej odpowiedzi, gdyż istnieją dwie (powinno być trzy).

4. Zauważenie wieloznaczności rozwiązania zadania i podanie przykładowego rozwiązania zadania.

Badani prezentujący tę postawę (6 osób) podali różne możliwe długości boków prostokąta spełniające warunki zadania. Dla wskazanych długości boków obliczali obwód prostokąta. Po czym nie udzielali całościowej odpowiedzi do zadania, a stwierdzali tylko np.: Dla długości boków 3 i 6 cm, obwód 18 cm. W odpowiedzi podawali więc przykładową parę liczb i obwód prostokąta. Uczniowie nie dbali więc o to, aby wskazać wszystkie możliwości, poprzestali na wskazaniu jednego rozwiązania. Wypowiedzi badanych podane po rozwiązaniu zadania wskazują, że uczniowie nie widzieli nic niepokojącego w fakcie, iż w momencie podawania odpowiedzi do zadania podają oni tylko przykładową odpowiedź i zaniedbują inne. Jednocześnie uczniowie nie podawali żadnych argumentów przemawiających za wybraniem takiej to, a takiej konkretnej możliwości (odpowiedzi), można przypuszczać, że robili to losowo.

5. Zauważenie wieloznaczności rozwiązania zadania i próba podania wszystkich rozwiązań zadania.

Badani prezentujący tę postawę (4 uczniów) podali różne możliwe długości boków prostokąta. Dla wskazanych długości boków obliczali obwód prostokąta. Badani w swoich odpowiedziach starali się uwzględnić wszystkie przypadki, tj. różne wartości obwodu dla różnych długości boków.

Warto wspomnieć, że trzej uczniowie podali komentarz do rozwiązania zadania. Pisali oni, że dla różnych par liczb otrzymamy różne długości obwodów. Jedna z osób napisała również, że im większa różnica w długości boków, tym większy obwód.

Ważnym wątkiem, rzucającym światło na trudności uczniów w pracy nad zadaniami są zapisy w kwestionariuszu oraz wypowiedzi udzielane przez badanych, którzy prezentowali postawę 3 oraz 4. Osoby te, po wskazaniu kilku rozwiązań zadania cechują się bezradnością w zakresie wyciągnięcia wniosków z prowadzonych rozumowań. Zwróćmy uwagę na komentarze podawane przez badanych:

• Są różne możliwości rozwiązania i ciężko określić, która z nich jest prawidłowa;
• Wszystkie pasują i za każdym razem są to liczby naturalne i pole wynosi 18 cm²;
• Wychodziło mi kilka możliwości i nie wiem, co z tym zrobić;
• Na to pytanie nie ma jasnej odpowiedzi, gdyż istnieją dwie prawidłowe;
• Ja nie wiem jaka jest odpowiedź;
• Nie wiadomo, co zrobić, która z odpowiedzi jest dobra;
• Nie wiem, która z odpowiedzi jest dobra;
• Są dwa rozwiązania, a tak być nie może;
• To zadanie, w którym nie da się dać odpowiedzi, tu wszystkie pasują, za każdym razem są liczby naturalne, a przecież zadania zawsze mają odpowiedzi.

Część z zacytowanych odpowiedzi świadczy, iż badani jako odpowiedź do zadania uznają tylko zdanie proste, twierdzące. Wypowiedzi badanych ukazują dobitnie, że badani nie akceptują sytuacji, w której pojawia się cała klasa rozwiązań zadania. W sytuacji, gdy nie ma możliwości pozwalających wskazać (wybrać) jedno z rozwiązań, jako ,,właściwe’’ rozwiązanie zadania, część badanych wykazuje się bezradnością.

Ujawnione postawy uczniów (postrzeganych przez nauczycieli jako zdolnych matematycznie) są niepokojące z kilku powodów. Niepokojąco duża grupa młodzieży rozwiązując zadanie próbuje działać automatycznie, schematycznie, wręcz bezmyślnie. Można przypuszczać, że w edukacji matematycznej proponowano uczniom zawsze bądź prawie zawsze rozwiązywanie zadań standardowych. Takie zadania przeważają też w podręcznikach, ćwiczeniach, zbiorach zadań i innych materiałach dla uczniów. Wyniki badań zdają się wskazywać, że umiejętność rozwiązywania zadań matematycznych ,,rozpadła się’’ u badanych uczniów na dwie umiejętności składowe:

• próba rozpoznania typu zadania oraz
• próba przywołania z pamięci właściwej procedury postępowania.

Badani próbowali więc rozwiązać zadanie stosując ,,strategię przypominania’’ (powielenie znanego schematu), a gdy ta zawiodła, wykazali się dużą bezradnością.

Wyniki pracy uczniów nad zadaniami z niedomiarem danych ujawniają, że fakt znalezienia jednego rozwiązania zadania często skutkuje zakończeniem pracy badanego nad zadaniem. W wielu pracach uczniowie po znalezieniu kilku rozwiązań zadania nie formułują odpowiedzi do zadania. Zauważmy, że większość zadań z treścią zawartych w materiałach dla uczniów ma charakter problemów konwergencyjnych, co może być ograniczeniem tworzącym fałszywą sugestię, iż zawsze istnieje tylko jedno dobre rozwiązanie sytuacji problemowej czy zadania. Tego typu postawy są wynikiem przeświadczeń badanych o cechach, jakimi charakteryzują się zadania matematyczne. Doświadczenia nabyte przez badanych, w toku edukacji, zaskutkowało więc wytworzeniem się u uczniów błędnego poglądu dotyczącego postaci rozwiązań zadań.

Badani nie mieli potrzeby wypracowania różnych rozwiązań zadania i porównania ich.

Podczas rozwiązywania zadania u większości uczniów nie nastąpił transfer w zakresie przenoszenia zachowań z sytuacji codziennych na sytuacje czysto matematyczne. Przyczyną takiego stanu rzeczy może być specyficzny język, jakim posługujemy się na lekcjach matematyki, odmienny od języka dnia codziennego.

Można także przypuszczać, że uczniowie traktują matematykę statycznie, jako skończony zbiór faktów, algorytmów itp. W sytuacji konfliktu poznawczego badani nie są gotowi do poszukiwania (wypracowywania) subiektywnie nowych rozwiązań (podejście dynamiczne do matematyki).

Pojawiają się tutaj pytania. Dlaczego uczniowie zdolni matematycznie, którzy posiadają wiadomości matematyczne, operują umiejętnościami wystarczającymi do rozwiązania dość trudnych, ale typowych zadań, nie rozwiązują zadań o niewielkim stopniu trudności, jednak wymagających twórczego podejścia? Dlaczego uczniowie nie wykorzystują swoich możliwości intelektualnych? Ważnym, w kontekście ujawnionych wyników badań, jest również pytanie: Jak zmienić postawy uczniów?

Odpowiedzi na postawione wyżej pytania są moim zdaniem interesujące i złożone, a ich opisanie wymaga osobnego opracowania. Na koniec chciałabym tylko zwrócić uwagę, że częste proponowanie uczniom pracy nad zadaniami niestandardowymi oraz dyskusje nad strukturą zadań w mojej opinii przynosi dobre efekty dydaktyczne. Mam tu na myśli rozważanie zadań z nadmiarem sprzecznych bądź niesprzecznych danych, czy też zadania z niedomiarem danych.

Poniżej podaję kilka przykładowych serii zadań przeznaczonych dla uczniów różnych szczebli kształcenia matematycznego, które moim zdaniem mogą przyczynić się do kształtowania kompetencji kluczowych uczących się.

Seria SI

Zadanie SI.1. Dany jest okrąg. Pole kwadratu opisanego na tym okręgu wynosi 8 cm², zaś pole kwadratu wpisanego w ten okrąg 4 cm². Oblicz obwód okręgu.

Zadanie SI.2. Dany jest okrąg. Pole kwadratu opisanego na tym okręgu wynosi 8 cm², zaś pole kwadratu wpisanego w ten okrąg 16 cm². Oblicz obwód okręgu.

Zadanie SI.3. Dany jest okrąg. Pole kwadratu opisanego na tym okręgu wynosi 8 cm². Oblicz obwód trójkąta prostokątnego wpisanego w ten okrąg.

Zadanie SI.4. Dany jest okrąg. Pole kwadratu opisanego na tym okręgu wynosi 8 cm². Oblicz obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego wpisanego w ten okrąg.

Zadanie SI.5. Dany jest okrąg. Pole kwadratu opisanego na tym okręgu wynosi 8 cm². Oblicz obwód okręgu.

Seria SII

Zadanie SII.1. W trójkącie równoramiennym jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma 15^o. Określ miary pozostałych kątów trójkąta.

Zadanie SII.2. W trójkącie równoramiennym jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma 115^o. Określ miary pozostałych kątów trójkąta.

Seria SIII

Zadanie SIII.1. Oblicz obwód prostokąta o polu 12 cm².

Zadanie SIII.2. Oblicz obwód prostokąta o polu 12 cm², którego długości boków są liczbami naturalnymi.

Zadanie SIII.3. Oblicz obwód prostokąta o polu 12 cm², którego długości boków i przekątnych są liczbami naturalnymi.

Seria SIV

Zadanie SIV.1. Oblicz objętość sześcianu o polu podstawy 9 cm²  i przekątnej ściany bocznej 3√2 cm.

Zadanie SIV.2. Oblicz objętość sześcianu o polu podstawy 9 cm².

Zadanie SIV.3. Oblicz objętość sześcianu o polu podstawy 9 cm² i polu powierzchni bocznej 54 cm².

Zadania mają rożną strukturę. Zadania SI.1, SIV.1 posiadają nadmiar niesprzecznych danych. Zadania SI.3. SII.1, SIII.1, SIII.2 mają niejednoznaczne rozwiązanie, przy czym zadania SI.3., SIII.1 mają nieprzeliczalnie wiele rozwiązań. Zadania SI.2, SIV.3 mają dane sprzeczne, zaś zadania SI.4, SI.5, SII.2, SIII.3, SIV.2 zawierają dokładnie tyle informacji, ile potrzeba do jednoznacznego ich rozwiązania.

Dla zadań proponuję określić, czy:

• Zadanie zawiera dokładnie tyle informacji, ile potrzeba i wystarcza do znalezienia jednoznacznego rozwiązania.
• Wszystkie dane są konieczne w tym sensie, że rezygnacja z którejkolwiek z nich wpłynęłaby na odpowiedź lub uniemożliwiałaby rozwiązanie zadania.
• Zadanie zawiera zbyt mało informacji potrzebnych do jego rozwiązania.
• Zadanie zawiera sprzeczne dane.

W pracy nad zadaniami nacisk powinien być położony na refleksje nad danymi i związkami pomiędzy nimi, czyli na analizę treści zadania i określenie planu rozwiązania zadania, nie zaś na wykonywanie rachunków.

Literatura:

1. B. Gleichgewicht, Arytmetyczne zadania tekstowe dla nauczycieli klas 1-4, WSiP, Warszawa 1988.
2. J. Major, M. Major, Kształtowanie wybranych kompetencji kluczowych w nauczaniu matematyki, Hejnał oświatowy, 3/191, 2020, 10-13.
3. G. Polya, Odkrycie matematyczne, WNT, Warszawa, 1975.
4. Słownik Języka Polskiego, PWN, Warszawa, 2000.
5. G. Zielińska, Problem deficytu i nadmiaru danych w zadaniach testowych, IM UP, niepublikowana praca dyplomowa, pod kierunkiem J. Major, 2011.

[1] Zadaniami standardowymi nazywamy zadania spełniające następujące warunki:

• jest wystarczająca liczba danych dla otrzymania jednoznacznego rozwiązania i przy tym nie ma zbędnych danych,
• treść zadania nie prowadzi do sprzeczności,
• treść zadania jest odpowiednia, przez co rozumiemy, że pytania pozostają w ścisłym związku z danymi, że zadanie ma sens życiowy, że warunki jego są wystarczająco precyzyjne i że poddaje się ono matematyzacji arytmetycznej.

Zaprzeczenie którejkolwiek z tych cech prowadzi do zadania niestandardowego (zob. Gleichgewicht, 1988).

[2] Przez termin postawa rozumiem tu stosunek człowieka do życia lub do pewnych zjawisk, wyrażający jego poglądy; też: sposób postępowania lub zachowania wobec określonych zjawisk, zdarzeń lub w stosunku do ludzi (Słownik Języka Polskiego, 2000).